Accadde oggi: il 20 marzo 1916 Einstein pubblica la teoria della relatività generale

25 novembre 1915: Albert Einstein scrive la formula “equazione di campo”

L'equazione di campo di Einstein: storia, calcoli e dettagli del celebre fisico tedesco

Redazione L'Occhio25 Novembre 2018

424 4 minuti di lettura

L’equazione di campo di Einstein è l’equazione fondamentale della teoria della relatività generale. Annotata dal fisico sul suo taccuino il 25 novembre del 1915, descrive la curvatura dello spaziotempo in funzione della densità di materia, dell’energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia.

L’equazione di campo di Einstein, i dettagli della formula

L’equazione di campo originale è:

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

Ma successivamente Einstein la modificò aggiungendo la costante cosmologica in modo da ottenere un modello di universo statico. Nella forma con la costante cosmologica, l’equazione di campo è

R_{{\mu \nu }}-{1 \over 2}g_{{\mu \nu }}R+\Lambda g_{{\mu \nu }}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{{\mu \nu }}

dove:

$R_{{\mu \nu }}$ è il tensore di curvatura di Ricci;
$R$ la curvatura scalare, ossia la traccia di $R_{{\mu \nu }}$ ;
$g_{\mu \nu}$ il tensore metrico;
$\Lambda$ la costante cosmologica;
$T_{{\mu \nu }}$ il tensore stress-energia;
$c$ la velocità della luce nel vuoto;
$G$ la costante di gravitazione universale.

Il tensore $g_{\mu \nu}$ descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4×4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le identità di Bianchi, le equazioni indipendenti si riducono a 6. Definendo il tensore di Einstein ${\mathcal {G}}_{\mu \nu }$ come segue :

${\mathcal {G}}_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R$

possiamo riscrivere l’equazione di campo come

${\mathcal {G}}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

Altre equazioni di campo

L’equazione di campo indicata da Einstein non è l’unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell’accoppiamento tra materia/energia e curvatura. I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta di Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker, o FLRW. L’assunto che l’universo sia isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.

Contrazione o espansione dell’universo

Il termine $\Lambda$ venne introdotto ad hoc da Einstein per permettere un universo statico, in quanto la sua teoria prevedeva un universo dinamico (o in contrazione o in espansione), inconcepibile per quei tempi.

Nei dieci anni successivi le osservazioni di Edwin Hubble confermarono l’espansione dell’universo e il termine $\Lambda$ venne omesso (lo stesso Einstein ne giudicò l’introduzione il suo più grande errore).

Sembra però che Einstein fosse “condannato” ad avere in qualche modo ragione in quanto la costante cosmologica si è riaffermata nel 1998 con l’osservazione di un universo in accelerazione, cha ha spinto gli astronomi a introdurre l’idea di una costante cosmologica positiva.

Come quella individuata da Einstein, anche la versione aggiornata svolge il ruolo di forza antigravitazionale su larga scala, ora rappresentata dall’energia oscura.

Trascurando temporaneamente la costante cosmologica $\Lambda$ e utilizzando unità di misura per cui c sia pari ad uno, se supponiamo che l’universo a grande scala sia isotropo ed omogeneo, è possibile ridurre l’equazione tensoriale all’equazione differenziale:

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}+{\frac {k}{R^{2}}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho

dove $R$ è il fattore di scala (che se l’universo è chiuso ne rappresenta il raggio), ${\dot {R}}$ la sua velocità di variazione, $\rho$ la densità media dell’universo e $k$ la curvatura (positiva, negativa o nulla). Risulta dunque facile, ponendo $k=0$ , calcolare quella che viene definita la “densità critica” dell’universo, che risulta:

\rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}

dove si è fatto utilizzo della relazione ${\frac {\dot {R}}{R}}=H$ che lega il parametro di Hubble al fattore di scala. Naturalmente la debolezza di questa formula è che le condizioni non autorizzano a considerare $k=0$ . Se la curvatura dell’universo è maggiore di 0 esso si ricontrarrà, se pari o inferiore si espanderà per sempre. In questo tipo di universo la distanza tra due punti è data dalla metrica di Robertson – Walker. Sempre con $k=0$ , l’equazione , che assume la forma

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho

può essere risolta ponendo $\rho ={\dfrac {M}{R^{3}}}$ , e ha come soluzione :

R(t)=Ct^{2/3}

dove $C$ è una costante. Questa soluzione ci dice che, per un universo spazialmente piatto e con costante cosmologica nulla, il fattore di scala è proporzionale al tempo alla due terzi $R\propto t^{2/3}$ .

Reintroducendo la costante cosmologica come una forma di energia, essa si comporta a tutti gli effetti come una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio; di conseguenza è possibile riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: una rappresentata dalla materia, osservabile e oscura, e l’altra dall’energia oscura. Infatti in tal caso l’equazione diventa

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}+{\frac {k}{R^{2}}}={\frac {8\pi G}{3}}\left(\rho +\rho _{\Lambda }\right)

Dove $\rho$ è la densità della materia e $\rho _{\Lambda }$ la densità di energia associata alla costante cosmologica definita come $\rho _{\Lambda }={\dfrac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}$ , che ha proprio le dimensioni di una densità energetica.

Dal momento che le attuali osservazioni, in particolare misurazioni della radiazione cosmica di fondo effettuate dal satellite WMAP, indicano che l’universo è molto vicino a una curvatura nulla, la densità dell’universo dovrebbe essere molto vicina al valore critico che ne determinerebbe una geometria piatta.

Al contrario la densità di energia della materia globalmente rilevabile è stimata essere soltanto il 30% circa di tale valore e la costante cosmologica sotto forma di energia oscura, qualora dimostrata e quantificata, dovrebbe permettere di colmare tale differenza e prevedere di conseguenza il destino ultimo dell’universo. Trovare pertanto conferme della sua esistenza, identificarne la natura e quantificarla con esattezza sono importanti campi d’indagine per la cosmologia.

Sonda deviata (equazione di campo) — Il tratto appare deviato dalla gravità del Sole mentre raggiunge la Terra

Soluzioni delle equazioni di campo

Le soluzioni particolari dell’equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra le quali:

l’universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell’universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
la soluzione di Lemaitre, una prima rozza formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall’esplosione di un “atomo primordiale” da cui ha avuto origine l’universo.